Спектр отклика

Спектр отклика- зависимость максимального относительного перемещения (относительной скорости,относительного или абсолютного ускорения) осциллятора от частоты (или периода) при данном уровне демпфирования [Р.Клаф,Дж.Пензиен-Динамика сооружений с.253].

Рассмотрим неконсервативный осциллятор при возбуждении опоры (кинематического возбуждения).

Уравнение равновесия принимает вид:

m - масса осциллятора;
c - коэффициент демпфирования;
k - коэффициент жесткости пружины;
u″,u′,u - относительное ускорение, относительная скорость и относительное перемещение соответственно;
x″_g - ускорение основания.

Уравнение равновесия осциллятора можно привести к виду:

ξ - модальный коэффициент демпфирования;
ω - собственная частота осциллятора.

Решение этого уравнения представлено в виде интеграла Дюамеля [Р.Клаф,Дж.Пензиен-Динамика сооружений с.253]

ω_d- частота демпфируемой системы,равная:

При малом уровне демпфирования (ξ<0.2) частоту демпфирующей системы можно принять равной собственной.

Величина S _d, равная:

называется спектром отклика относительного перемещения.

Следовательно,спектры отклика относительной скорости и абсолютного ускорения:

S_v - спектр отклика относительной скорости;
S_a - спектр отклика абсолютного ускорения.

При малом уровне демпфирования можно принять следующую связь между спектрами отклика относительного перемещения,относительной скорости,абсолютного ускорения:

Рассмотрим систему с несколькими степенями свободы.

Уравнение равновесия принимает вид:

m - матрица масс;
c - матрица демпфирования;
k - матрица жесткости;
u″,u′,u - векторы относительного ускорения, относительной скорости и относительного перемещения соответственно;
x″_g - вектор ускорения основания;
r - вектор коэффициентов влияния, который характеризует перемещение от единичного смещения опор [Р.Клаф,Дж.Пензиен-Динамика сооружений с.280].

Собственные частоты определяются из частотного уравнения:

ω_i - собственные частоты системы;
φ_i - собственные формы системы.

Система уравнений решается при помощи метода суперпозиции мод:

y_i(t) - модальный коэффициент перемещения.

Подставим Σφy_i(t) в уравнение равновесия системы и домножим слева на φ_i^T.

Используя условие ортогональности форм, получим:

ξ_i - модальный коэффициент демпфирования на i - ой моде;
Г_i - модальный коэффициент участия i - ой моды,который определяется:

Уравнение отличается от уравнения одномассового осциллятора только коэффициентом Г_i.

Следовательно, максимальное значение модального коэффициента перемещения определяется:

Тогда максимальное перемещение на i - ой моде определяется:

Максимумы модальных откликов не достигаются одновременно.

Поэтому возникает проблема поиска максимального значения искомой величины по всем модам [подробнее в А.Н. Бирбраер-Расчет конструкций на сейсмостойкость с.71].

Ниже рассматриваются три способа поиска максимального значения по всем модам.

1. Метод суммирования по абсолютному значению откликов (Absolute sum):

2. Метод квадратного корня из суммы квадратов модальных откликов (Square root of sum of squares):

3. Квадратный корень из суммы комбинаций произведений модальных откликов (Complete quadratic combination):

где α_ij - матрица корреляции,равная:

приβ = ω_i/ω_j.

Если ξ = 0, то матрица корреляции α_ij является единичной.

Здесь вы можете посмотреть: