CAE Fidesys 9.0 Руководство пользователя

Случайная вибрация (теория)

В машиностроении случайная вибрация — это движение, которое не является детерминированным, а это означает, что будущее поведение невозможно точно предсказать. Среди наглядных примеров - движение автомобиля по неровной дороге или нагрузка на крыло самолета во время полета.

Реакция конструкции на случайную вибрацию обычно рассматривается с использованием статистических или вероятностных подходов. Согласно ГОСТ 28223-89 существует понятие "спектральная плотность ускорения" (СПУ), выраженная в единицах "ускорение в квадрате, деленное на частоту" ([(м/с^2)^2]/Гц). Чаще в употреблении можно встретить термин "спектральная плотность мощности" (СПМ), однако в случае случайной вибрации СПМ и СПУ - это одно и то же.

Рассматривая временной и гармонический анализы, мы считали возмущающие силы детерминированными функциями, т.е. изменяющимися в зависимости от времени или частоты по известному закону. В большом числе технических задач внешние нагрузки являются случайными величинами. Проектируя то или иное сооружение, мы располагаем лишь статистическими данными о ветрах в данной местности. Важными примерами отклика на случайные воздействия являются колебания транспортных машин, вызванные неровностями дороги; колебания конструкций, вызванные давлением струиреактивного двигателя.

На данный момент в программном комплексе Фидесис реализован анализ случайных вибраций со следующими допущениями:

• внешняя случайная нагрузка распределена по нормальному закону распределения случайной функции

• внешняя случайная нагрузка содержит свойства стационарности и эргодичности, следовательно и отклик на воздействие сохраняет такие же свойства;

• внешняя случайная нагрузка прикладывается в виде ускорения, скорости, перемещения опоры; ко всем опорам прикладывается одинаковая нагрузка;

• внешняя спектральная нагрузка приладывается в виде спеткральной плотности мощности

Рассмотрим систему с несколькими степенями свободы.

Уравнение равновесия принимает вид:

• m - матрица масс;

• c - матрица демпфирования;

• k - матрица жесткости;

• u″,u′,u - векторы относительного ускорения, относительной скорости и относительного перемещения соответственно;

• x″_g - вектор ускорения основания;

• r - вектор коэффициентов влияния, который характеризует перемещение от единичного смещения опор [Р.Клаф,Дж.Пензиен-Динамика сооружений с.280].

Собственные частоты определяются из частотного уравнения:

• ω_i - собственные частоты системы;

• φ_i - собственные формы системы.

Система уравнений решается при помощи метода суперпозиции мод:

• y_i(t) - модальный коэффициент перемещения.

Подставим Σφy_i(t) в уравнение равновесия системы и домножим слева на φ_i^T.

Используя условие ортогональности форм, получим:

• ξ_i - модальный коэффициент демпфирования на i - ой моде;

• Г_i - модальный коэффициент участия i - ой моды,который определяется:

Уравнение отличается от уравнения одномассового осциллятора только коэффициентом Г_i.

После проеобразования Фурье данное уравнение принимает вид:

Передаточная функция для i-ой моды:

Модуль передаточной функции для i-ой моды:

Спектральная плотность мощности модального коэффициента перемещения i-ой моды:

• S_x″g(ω) - спектральная плотность мощности входного воздействия.

Спектральная плотность мощности перемещения i-ой моды:

Суммарная cпектральная плотность мощности перемещения:

Среднеквадратичное отклонение (1сигма) перемещения:

Для поиска 2сигма, 3сигма, Nсигма необходимо домножить 1сигма результат на соотвествующую N.