Метод спектральных элементов

Уникальная особенность CAE Fidesys заключается в том, что помимо используемого по умолчанию метода конечных элементов (МКЭ), он позволяет проводить расчёты методом спектральных элементов (МСЭ). МСЭ - одна из современных модификаций МКЭ и применяется, в основном, для динамического анализа. Основными преимуществами МСЭ по сравнению с традиционным методом конечных элементов являются следующие:

высокая скорость выполнения расчетов благодаря диагональной структуре матрицы масс (из-за специального выбора квадратурной формулы для интегрирования) и отсутствие, таким образом, необходимости решать систему линейных алгебраических уравнений;
высокая точность аппроксимации искомого решения при относительно небольшом числе элементов;
возможность эффективного распараллеливания вычислений с помощью технологий OpenMP, MPI и CUDA.

МСЭ наиболее эффективен при динамическом анализе с использованием явной схемы по времени.

Краткое описание и преимущества МСЭ

Метод спектральных элементов – модификация метода конечных элементов (МКЭ), в которой в качестве базисных функций используются кусочные функции, состоящие из многочленов высоких степеней.

Основные преимущества МСЭ по сравнению с МКЭ таковы:

1) Высокая скорость работы алгоритма. В силу специального выбора квадратурной формулы для интегрирования по расчетной области матрица масс имеет диагональную структуру. Благодаря этому пропадает необходимость решать систему линейных алгебраических уравнений на каждой итерации.

2) Высокая точность аппроксимации решения на более крупной сетке. Погрешность численного решения оценивается как

При этом для

в то время как для МСЭ

Здесь C₁ и C₂ – константы, h – характерный размер сетки, N – порядок элемента, u_h – численное решение, [u]_h – проекция точного решения на сетку.

3) Возможность эффективного распараллеливания алгоритма на OpenMP, MPI и CUDA.

МСЭ наиболее эффективен для динамического анализа с использованием явной схемы по времени.

В качестве иллюстрации приведём классическую задачу о распространении волн в двумерной пластине размера 1x1.

Для достижения погрешности решения менее 2% необходимое число КЭ типа TRI3 составляет 6390197 с характерным размером 4e-4. При числе КЭ типа QUAD4 1640961 с характерным размером 3e-3 и использовании МСЭ с 4-ым порядком элементов погрешность решения становится менее 2%.

Рис.1. Распределение поля модуля перемещений U по пластине на момент времени t1

Рис.2. Распределение поля модуля перемещений U по пластине на момент времни t2

В качестве примера также можно привести решение задачи Стокса о распространении волн в бесконечном пространстве.

На иллюстрации ниже приведено сравнение сходимости метода спектральных элементов третьего и четвертого порядков по сравнению с методом конечных элементов для второго порядка.

Рис.3. Оценка сходимости метода спектральных элементов CAE Fidesys: u_x(t) - аналитическое решение, ux2 - решение CAE Fidesys для второго порядка точности, аналогично , ux3 b ux4 - для третьего и четвертого порядка соответственно.

Рис.4. Распределение поля напряжений (Мизес) для задачи Стокса при моделировании в CAE Fidesys.

Примеры сетки в файле с результатом расчета методом спектральных элементов с использованием различного порядка элементов:

Исходная сетка первого порядка

МСЭ с элементами порядка 2

МСЭ с элементами порядка 4

МСЭ с элементами порядка 8

МСЭ с элементами порядка 9

Пример нестационарной задачи на неконформной сетке

Решение задачи Стокса для неконформной сетки с использованием метода спектральных элементов. Рассматривается куб (100×100×100 м) из изотропного материала (Е= 2e8 МПа, ν=0.3 ρ=1900 кг/м³) с закреплениями из условия симметрии. Используется явная схема расчета, максимальное время 0.4 с. Между слоями используется условие жесткого контакта

Неконформная конечно-элементная сетка

Неконформная сетка для спектральных элементов третьего порядка

Напряжения Мизес в момент времени 0.27863 с

Использование МСЭ

Чтобы при решении задачи вместо метода конечных элементов воспользоваться методом спектральных элементов, при задании типа элемента для блока поставьте порядок элемента 3 и выше:

Важно: Для использования различных порядков на соседних объемах необязательно использовать условие жесткого контакта. Так для "склеенных" на уровне геометрии двух объемов достаточно создать два блока и просто указать разные порядки элементов в свойствах блоков.

Типы спектральных элементов, используемых в Fidesys.

Пошаговый пример нестационарной задачи для метода спектральных элементов.