Введение в расчет на собственные значения

Собственные частоты и соответствующие им формы колебаний характеризуют отклик конструкции (или иного объекта исследования) на внешние динамические воздействия и относятся (наряду с некоторыми другими параметрами) к категории динамических характеристик конструкции. Их определение обычно требуется для:

последующего расчета динамической реакции (вынужденных колебаний) конструкции с использованием разложения искомого решения по модам собственных колебаний, т.е. в нормальных координатах, или методом суперпозиции мод - как во времени (динамический временной анализ), так и в частотной области (частотный, или гармонический анализ);
верификации расчетной модели конструкции по результатам динамических испытаний натурного объекта или его маломасштабной физической модели (путем сравнения расчетных и экспериментальных динамических характеристик);
планирования экспериментов, в частности, определения мест приложения динамических воздействий и установки сенсоров;
обоснования мероприятий по устранению возможных резонансов (за счет изменения параметров конструкции или условий ее нагружения).

Собственные частоты и формы колебаний определяются путем численного решения обобщенной проблемы собственных значений. В случае анализа механических колебаний методом конечных элементов в формулировке проблемы собственных значений используются матрица инерции (матрица масс) и матрица жесткости упругой системы, моделирующей конструкцию; внутренним конструкционным демпфированием из-за его малой величины обычно пренебрегают. В других задачах, например, устойчивости или теплопроводности, рассматриваются матрицы коэффициентов, соответствующих этим задачам.

Непосредственным результатом численного решения являются n найденных собственных пар (n не превышает числа степеней свободы конечно-элементной модели, а как правило, и намного меньше). Каждая такая пара состоит из собственного значения и собственного вектора. При анализе механических колебаний каждое собственное значение представляет собой квадрат собственной круговой частоты колебаний по определенному тону, или моде (отсюда происходит термин модальный анализ), а собственный вектор - форму колебаний.

Собственные частоты

Собственные частоты колебаний можно наблюдать в конструкции, которую вывели из положения статического равновесия, например, путем приложения изменяющегося во времени внешнего воздействия специального вида. Воздействие должно быть либо кратковременным (импульсным) - в этом случае возбуждается сразу несколько тонов собственных колебаний, которые постепенно затухают, либо периодическим синусоидальным - при этом возбуждаются и поддерживаются колебания соответствующей частоты. Точка приложения синусоидального воздействия должна находиться в пучности формы возбуждаемого тона колебаний.

Формы колебаний

Форма колебаний по какому-либо тону представляет собой распределение величин перемещений точек конструкции в определенном координатном направлении, характерное для этого тона и не изменяющееся во времени. Форму колебаний можно рассматривать и как совокупность отношений амплитуд перемещений в разных точках конструкции к амплитуде в какой-либо выбранной точке или к условной амплитуде, полученной из условия нормировки собственных векторов.

Понятие формы колебаний иллюстрирует таблица 1, где представлены формы первых 7 мод собственных колебаний тонкостенной пластины, рассчитанных с помощью CAE Fidesys.

Таблица 1 - Формы колебаний тонкостенной пластины


1-я форма	2-я форма

3-я форма	4-я форма

5-я форма	6 форма

В общем случае значения собственных частот и форм колебаний конструкции зависят от ее геометрических характеристик, свойств конструкционных материалов и граничных условий. Влияние граничных условий на формы колебаний представлено на Рис. 1 и 2 на примере балки. Первый вариант граничных условий (Рис. 1) соответствует консольному закреплению балки, второй (Рис. 2) - ее шарнирному операнию.

Рис. 1 - Формы колебаний консольной балки

Рис. 2 - Формы колебаний шарнирно опертой балки

Однако, если изменить только свойства материала рассматриваемой балки (например, модуль Юнга или плотность), то для каждого варианта граничных условий ее собственные частоты изменятся, а формы колебаний - нет.