Перейти к статье

 

Метрики для четырехугольных элементов

Метрики, используемые для оценки качества четырехугольных элементов, приведены в таблице 1.

Таблица 1 - Метрики оценки качества четырехугольных элементов

Название метрики

Размерность

Диапазон изменения

Допустимый диапазон

Источник информации

Отношение сторон (aspect ratio)

-

от 1 до ∞

от 1 до 4

[1]

Скошенность (skew)

-

от 0 до 1

от 0 до 0,5

[1]

Сужение (taper)

-

от 0 до ∞

от 0 до 0,7

[1]

Искривление (warpage)

-

от 0 до 1

от 0,9 до 1,0

Новый

Площадь элемента (element area)

<длина×длина>

от -∞ до +∞

Не определен

[1]

Растяжение(stretch)

-

от 0 до 1

от 0,25 до 1

[2]

Минимальный угол (minimum angle)

градусы

от 0 до 90

от 45 до 90

[3]

Максимальный угол (maximum angle)

градусы

от 90 до 360

от 90 до 135

[3]

Число обусловленности (condition number)

-

от 1 до ∞

от 1 до 4

[4]

Якобиан (Jacobian)

<длина×длина>

от -∞ до +∞

Не определен

[4]

Нормированный якобиан (scaled Jacobian)

-

от -1 до +1

от 0,5 до 1

[4]

Сдвиг (shear)

-

от 0 до 1

от 0,3 до 1

[5]

Форма (shape)

-

от 0 до 1

от 0,3 до 1

[5]

Относительный размер (relative size)

-

от 0 до 1

от 0,3 до 1

[5]

Сдвиг и размер (shear & size)

-

от 0 до 1

от 0,2 до 1

[5]

Форма и размер (shape & size)

-

от 0 до 1

от 0,2 до 1

[5]

Искажение (distortion)

-

от -1 до +1

от 0,6 до 1

[6]

Определения метрик

Отношение сторон - максимальное отношение длин сторон, измеренное в центре четырехугольника.

Скошенность - максимальный косинус угла между сторонами, измеренный в центре четырехугольника.

Сужение - максимальное отношение длин противоположных сторон четырехугольника.

Искривление - косинус минимального двугранного угла, образованного плоскостями, пересекающимися на диагоналях четырехугольника.

Площадь элемента - значение якобиана в центре четырехугольника.

Растяжение - 1,414×(отношение минимальной длины стороны к максимальной длине диагонали четырехугольника).

Минимальный угол - наименьший внутренний угол четырехугольника.

Максимальный угол - наибольший внутренний угол четырехугольника.

Число обусловленности - максимальное число обусловленности матрицы Якоби, полученное в узлах четырехугольника.

Якобиан - минимальное из точечных значений якобиана, полученных в узлах и в центре четырехугольника.

Нормированный якобиан - минимальное значение якобиана, поделенное на произведение длин векторов, соответствующих двум сторонам четырехугольника.

Сдвиг - 2/число обусловленности кососимметричной матрицы Якоби.

Форма - 2/число обусловленности взвешенной матрицы Якоби.

Относительный размер - min( J, 1/J), где J - определитель взвешенной матрицы Якоби.

Сдвиг и размер - произведение сдвига на относительный размер.

Форма и размер - произведение формы на относительный размер.

Искажение - {min(|J|)/действительная площадь}×("родительская" площадь). "Родительская" площадь - это площадь "родительского" четырехугольника, характеризуемого прямолинейными сторонами; она принимается равной 4.

Пояснения

Сдвиг, форма, относительный размер, сдвиг и размер, форма и размер являются алгебраическими метриками качества, которые применимы для четырехугольных элементов. Метрики основываются на сравнении параметров элемента с "эталоном" в виде квадрата и характеризуют различные отклонения от этого "эталона".

В частности, метрика форма показывает, насколько скошенность и отношение сторон элемента отличают его от квадрата.

Метрика относительный размер базируется на сравнении размеров элемента с размерами квадратного  "эталона". Если элемент вдвое меньше "эталона", то метрика принимается равной 0,5. "Эталоном" для соответствующей оценки является квадрат, площадь которого равна средней площади всех четырехугольников рассматриваемой поверхностной сетки.

Посредством метрики форма и размер оценивается, насколько и форма, и относительный размер элемента отличаются от характеристик "эталона".

Метрика сдвиг базируется на числе обусловленности кососимметричной матрицы Якоби. Она, как и метрика скошенность, характеризует наклон его сторон. Если четырехугольник является прямоугольником, то сдвиг = 1. Метрика Робинсона скошенность в этом случае равняется нулю. Она так же равна нулю, когда четырехугольник представляет собой трапецоид или даже треугольник.

Источники информации

О метриках Робинсона для четырехугольников

К метрикам Робинсона, характеризующим качество четырехугольных элементов, относятся: отношение сторон, скошенность, сужение и площадь элемента [Robinson, 1987]. К ним можно отнести и растяжение. Графическое представление трех из перечисленных метрик дано на Рис. 1. Метрика растяжение определяется (см. выше) отношением минимальной длины стороны четырехугольника к максимальной длине его диагонали.

Рис. 1 - Графическое представление метрик Робинсона (параметров формы четырехугольника)