Роторная динамика

При вращении на конструкции действуют гироскопические силы и моменты. Их вид и физический смысл может быть разным в зависимости от выбранной системы отсчета: вращательной (O’X'Y’Z’) или стационарной (OXYZ).

На рисунке 1 показано положение точки P в двух системах отсчета.

Рисунок 1 – Положение точки P в стационарной и вращательной системах отсчета

На рисунке приведены следующие обозначения:

O’X'Y’Z’ – вращательная система отсчета;

OXYZ – стационарная (глобальная) система отсчета;

ω – вектор угловой скорости в стационарной системе отчета;

R – радиус-вектор точки O’ в стационарной системе отсчета;

r – радиус-вектор точки P в стационарной системе отсчета;

r’ – радиус вектор точки P во вращательной системе отсчета.

В Fidesys (начиная с версии 8.0), в модальном анализе можно учитывать гироскопические силы при получении результатов, в том числе для построения диаграммы Кэмпбелла.

Уравнение движения конечно-элементной модели в стационарной системе отсчета:

где:

M, C, K – матрицы масс, линейной жесткости, демпфирования;

P(t) – вектор внешних сил (равен нулю в модальном анализе);

Gs – гироскопическая матрица в стационарной системе отсчета.

Гироскопическую матрицу в стационарной системе отсчета можно получить, подставив функции формы перемещений в выражение кинетической энергии гироскопического момента.

Если модель вращается вокруг глобальной оси X, то кинетическая энергия будет равна:

где:

u – линейное перемещение вдоль глобальной оси X;

ρ – массовая плотность материала;

θ̇x, θ̇y, θ̇y - производные угловых перемещений по времени (θ̇x = ωx).

Уравнение движения конечно-элементной модели во вращательной системе отсчета:

где:

Gr – гироскопическая (кориолисовая) матрица во вращательной системе отсчета, равная:

N – матрица функций форм;

Ω - матрица проекций угловой скорости на глобальные оси координат, равная:

Ksp – дополнительная матрица жесткости, возникающая при воздействии вектора угловой скорости (в англ. литературе – spin softening):

Ωsp - матрица проекций угловой скорости на глобальные оси координат, квадрат которой равен:

Также, в двух системах отсчета можно добавить матрицу жесткости от преднагружения статическим анализом ( преднагружение будет учтено так от угловой скорости, так от других внешних воздействий) .