Перейти к статье

 

Введение в метод конечных элементов

В настоящее время метод конечных элементов (МКЭ) является одним из основных средств инженерного анализа. Программные пакеты, реализующие этот метод, используются для расчетов изделий машиностроения и строительных конструкций, исследования различных твердых тел, жидких и газообразных сред, а также их взаимодействия. Достоинствами МКЭ, кроме практически неограниченной применимости, являются: достоверность, надежность и возможность использования в компьютерном моделировании. Первоначально появление МКЭ было связано со строительной механикой. Однако вскоре обнаружилось, что с помощью этого метода возможно решение и других классов задач. Дальнейшее бурное развитие МКЭ во многом определялось прогрессом цифровой вычислительной техники, поскольку с увеличением производительности компьютеров достигалось эффективное решение все более сложных инженерным задач. Учитывая нынешнюю широкую распространенность МКЭ, можно ожидать, что в будущем сфера его применения будет только расширяться.

История метода

Прообраз МКЭ появился в связи с необходимостью решения сложных задач теории упругости и строительной механики, возникающих при проектировании авиационных конструкций. Это появление можно установить, в частности, по работам Александра Хренникова (1941) и Ричарда Куранта (1942). Несмотря на то, что используемые ими подходы были различны, они имели важное сходство: оба были основаны на дискретизации непрерывной области в виде сетки, состоящей из набора отдельных подобластей, называемых элементами. В работе Хренникова область разбивалась с помощью сеточной аналогии, а подход Куранта основывался на разбиении области на конечные треугольные подобласти с целью решения дифференциального уравнения второго порядка, которым описывалась задача кручения стержня цилиндрического сечения. Вклад Куранта имел эволюционный характер, его работа базировалась на большом числе более ранних результатов, достигнутых при решении дифференциальных уравнений в частных производных Релеем, Ритцем и Галеркиным. В 1947 году Ольгерд Зенкевич, выпускник Имперского колледжа Лондона, объединил подходы Хренникова и Куранта в один метод, названный впоследствии "методом конечных элементов" (finite element method), и придал ему первоначальный математический формализм.

Развитие МКЭ продолжилось во второй половине 1950-х годов, опять же применительно к расчетам авиационных конструкций и было связано с именем Иоанниса Аргириса, профессора из Университета Штутгарта. С этого времени ключевые понятия о матрице жесткости и ансамбле конечных элементов существуют почти в неизменном виде.

В 1965 году НАСА опубликовало запрос на разработку программного обеспечения, реализующего МКЭ; в результате был создан NASTRAN. В 1973 году в публикации Стрэнга "Анализ методом конечных элементов" для МКЭ был заложен строгий математический фундамент; с той поры метод постепенно выделился в ветвь прикладной математики и стал применяться для численного моделирования физических процессов различной природы, в том числе в области электромагнетизма и газодинамики.

Краткая характеристика МКЭ

МКЭ практически с самого начала проявил себя как более эффективный метод по сравнению с методом конечных разностей; он оказался и оказывается доныне незаменимым, когда нужно учитывать геометрические особенности исследуемых областей и различия физических свойств в их разных частях.

С математической точки зрения МКЭ представляет собой обобщение метода Релея-Ритца-Галеркина и поэтому применим к широкому классу уравнений в частных производных. В методе Ритца, однако, не решается непосредственно дифференциальное уравнение; вместо этого исходная задача представляется в эквивалентной вариационной формулировке, а затем ищется приближенное решение в виде комбинации пробных (аппроксимирующих решение) функций заданного вида, определенных на всей исследуемой области. При этом весовые коэффициенты вычисляются из вариационного принципа, соответствующего задаче.

В МКЭ пробные функции являются, как правило, кусочно-полиномиальными. Каждая функция равна нулю на большей части области и отлична от нуля только в пределах одного элемента. В этой малой области функция составляется из полиномов определенной (преимущественно невысокой) степени, в результате чего вычисления становятся относительно простыми.

Пусть задача, которую нужно решить, поставлена в вариационной форме: требуется найти функцию u, минимизирующую заданный функционал потенциальной энергии. Необходимость минимизации приводит к дифференциальному уравнению для u, которое обычно нельзя решить точно и приходится применять приближенные методы. Идея метода Релея-Ритца-Галеркина состоит в том, что выбирается конечное число пробных функций и среди всех их линейных комбинаций ищется та, которая доставляет минимум функционалу. Эта комбинация представляет собой аппроксимацию Ритца. Неизвестные веса определяются уже не из дифференциальных уравнений, а из системы N дискретных алгебраических уравнений; для решения этой системы возможно использовать вычислительную машину. Процесс минимизации автоматически дает комбинацию, ближайшую к функции u. Теоретически цель состоит в том, чтобы выбрать пробные функции достаточно удобными для вычислений и минимизации потенциальной энергии и, в то же время, обеспечить хорошее приближение к искомому решению u.

В рамках МКЭ все начинается с разбиения исследуемой области на мелкие подобласти - конечные элементы. Их геометрическая форма должна быть достаточно простой для задания пробных функций и обработки с помощью вычислительной машины. В случае плоской задачи - это, как правило, треугольники или прямоугольники. Затем внутри каждого элемента задается пробная функция - обычно это полином третьей или четвертой степени. Краевые условия задаются вдоль соответствующих сторон треугольников или прямоугольников, что гораздо проще, чем определять их сразу на всей границе области. Точность расчета повышается при более мелком разбиении области на элементы. Вычислительная машина при этом работает по той же программе, только дольше.

Одна из задач, связанных с применением МКЭ, - это оценка точности или погрешности, с которой кусочно-полиномиальные функции могут аппроксимировать искомое решение. Насколько точны конечные элементы, которые строятся, исходя из простоты вычислений, и способны ли они обеспечить хорошую аппроксимацию? Интуитивно ясно, что для всякой гладкой функции можно построить приближение с использованием подходящих кусочных функций. Математически задача состоит в получении достоверной оценки ошибки приближения и определении скорости убывания этой ошибки при возрастании количества элементов (густоты разбиения области) или степени полиномов, определенных в пределах элемента.

Таким образом, основными составляющими МКЭ (не всегда очевидными для пользователя конечно-элементного программного обеспечения) являются:

Рекомендуемая литература: