Прочностная надежность

В общем случае соотношение действующих и предельных напряжений на протяжении ресурса эксплуатации инженерной конструкции может иметь вид, представленный на рисунке 1 - эти величины могут изменяться со временем и являются случайными со своими характеристиками - математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением. У каждой кривой есть область разброса возможных значений и, в случае пересечения этих областей, возможно наступление события отказа с определенной вероятностью.

Рисунок 1 – Соотношение кривых с учетом разброса значений

В общем случае надежность определяется через вероятность безотказной работы P, которая определяется интегрированием функции плотности вероятности p(Ψ) разности случайных величин R – предельных значений оцениваемого параметра (напряжений условного отказа в случае прочностной надежности), с математическим ожиданием 〈R〉 и F – расчетных значений этого параметра (расчетных напряжений в случае прочностной надежности), с математическим ожиданием 〈F〉: p(Ψ) = p(R-F) (рисунок 2), в интервале, определяющем безотказную работу, на котором значения R ≥ F т.е. от 0 до .

где Ψ – переменная интегрирования;

– среднеквадратическое отклонение случайной величины Ψ, по правилу суммирования случайных величин квадрат которой равен сумме дисперсий   и – неизвестные и подлежащие определению коэффициенты вариации случайных величин R и F;

〈Ψ〉 – математическое ожидание случайной величины Ψ, в данном случае имеет смысл разности математических ожиданий 〈Ψ〉=〈R〉-〈F〉.

Рисунок 2 – Пример плотности вероятности p(Ψ)

Для учета изменения характеристик надежности с течением времени используют кривую релаксации или иную кривую, описывающей изменение действующих напряжений во времени 〈F〉(t). В качестве функции, описывающей изменение напряжений условного отказа 〈R〉(t) используют кривую длительной прочности или также иную кривую, определяющую изменение предельных напряжений с течением времени. В итоге получается следующее соотношение 〈Ψ〉(t)=〈R〉(t)-〈F〉(t). Поскольку математическое ожидание 〈Ψ〉(t) в этом случае зависит от времени, то временную зависимость также имеет и p(Ψ,t) и можно построить трехмерную функцию плотности вероятности по времени с учетом изменения во времени всех ее параметров (рисунок 3-а) [1, 2].

Далее можно построить функцию изменения вероятности безотказной работы с течением времени (рисунок 3-б).

а) - Пример функций зависимости плотности вероятности от времени, б) - Пример функций зависимости показателя надежности от времени

Рисунок 3 – Плотность вероятности и показатель надежности

Однако для инженерных расчетов описанные выше подходы являются весьма трудоемкими и на практике применяют подход вычисления вероятность безотказной работы для выбранного результата расчета (выбранной точки во времени) через следующее соотношение:

где Ф(γ) - функция Лапласа, γ – квантиль нормального распределения,

σПРЕД - значение напряжений, считаемое отказом, МПа,

σДЕЙСТВ - рассчитанное значение напряжений, МПа,

σОТКЛ.ПРЕД - среднеквадратическое отклонение допускаемых напряжений, МПа,

σОТКЛ.ДЕЙСТВ - среднеквадратическое отклонение расчетных напряжений, МПа,

νМ - коэффициент вариации допускаемых напряжений,

νН - коэффициент вариации расчетных напряжений.

Если значение квантили γ > 3,9, то показатель надежности рассматриваемого элемента в механическом смысле R=Ф(γ)=1.

В таблице 1 приведены вероятности безотказной работы Ф в зависимости от γ, вычисленной по (1).  

Таблица 1 - Значения функции P = Φ(γ) в зависимости от значений квантили γ

Продолжение таблицы 1

Продолжение таблицы 1

1. Теория надежности: Учебник для вузов / Острейковский В.А. - 2-е изд., испр.- М.: "Высшая школа", 2008 г. - 463 с.: ил.

2. Надежность машин / Решетов Д.Н., Иванов А.С., Фадеев В.З. - М.: "Высшая школа", 1988 г. - 237 с.