Расчёт J-интеграла в 2D

Фильтр «Расчёт J-интеграла в 2D» (JIntegral2D) вычисляет по готовому результату упругого расчёта плоской модели (плоская деформация или плоское напряжение) параметры механики разрушения в одной выбранной вершине трещины.

J-интеграл

Фильтр вычисляет две компоненты вектора J-интеграла (Черепанов, Райс) — интегралы по контуру Γ, окружающему вершину трещины:

Здесь

• Γ — контур, который начинается на нижнем берегу трещины, обходит вершину против часовой стрелки и заканчивается на верхнем берегу;

• — ось вдоль трещины в направлении её роста, — нормаль к трещине (начало координат — в вершине);

• — компоненты внешней единичной нормали к Γ, — элемент длины контура;

• , , — напряжения, деформации и перемещения;

• — плотность энергии деформации.

— это J-интеграл в обычном смысле: скорость высвобождения энергии при продвижении трещины на единицу длины вдоль . Для упругого материала при свободных от нагрузки берегах и отсутствии температурных и массовых сил не зависит от выбора контура. — компонента в направлении нормали к трещине; для оценки прочности она обычно не нужна.

Фильтр вычисляет J не по самому контуру, а в эквивалентной доменной форме — интегралом по области вокруг вершины (см. раздел 3). Это точнее на конечно-элементной сетке и позволяет учесть температурные деформации и инерцию.

Связь J с коэффициентами интенсивности напряжений

где — модуль Юнга, — коэффициент Пуассона. Поэтому для правильных K важно, чтобы флаг Плоская деформация совпадал с постановкой задачи.

K1 и K2 фильтр вычисляет по отдельности (методом интеграла взаимодействия), а не извлекает из J. Формулы выше удобны для проверки: .

Что вычисляет фильтр

Фильтр находится в меню Фильтры → Анализ модели. Пункт меню доступен, только если во входных данных есть массивы Displacement и Elasticity Modulus.

1. Что нужно подготовить в модели

Трещина моделируется в препроцессоре CAE Fidesys как разрез (два несовпадающих берега) и помечается набором:

• Side Set по берегам трещины (рёбрам разреза). Каждый такой набор — отдельная трещина.

• Вершину отдельно помечать не нужно: фильтр сам находит концы трещины и предлагает те, что могут быть вершиной. Если конец трещины выходит на границу тела (как у краевой трещины), вершиной он не является и в список не попадает.

Какие результаты нужны во входном файле

Материал должен быть линейно-упругим и изотропным. Неоднородный материал допускается: свойства берутся в узлах модели.

2. Порядок работы

• Откройте результат расчёта, выделите его.

• Фильтры → Анализ модели → Расчёт J-интеграла в 2D.

• В поле Трещина выберите Side Set трещины.

• В поле Вершина трещины выберите узел (Node <номер>). Радиусы и нормаль к трещине заполнятся автоматически.

• Отметьте Симметричная модель, если модель — половина тела и трещина лежит в плоскости симметрии (раздел 4).

• Проверьте Плоская деформация — она должна соответствовать постановке задачи.

• Нажмите Применить.

Чтобы посчитать другую вершину или другую трещину, поменяйте выбор и снова нажмите Применить или добавьте ещё один экземпляр фильтра.

3. Параметры

(доп.) — параметр виден на панели свойств в расширенном режиме (кнопка с шестерёнкой).

Радиусы и контуры

Вокруг вершины строятся вложенные области интегрирования. Их внешние радиусы равномерно распределены между плоским и максимальным радиусом: контур 1 — самый маленький, контур N доходит до максимального радиуса. Зона внутри плоского радиуса, где решение у вершины наименее точное, на результат почти не влияет.

Автоматические значения рассчитываются по размеру наименьшего элемента h у вершины и длине трещины: rMin = 0,5·h, rFlat = 2·h, rMax = 0,5·длина трещины. В большинстве случаев их можно не трогать. Если нужно поправить вручную, соблюдайте условия:

• Минимальный радиус < Плоский радиус < Максимальный радиус;

• Максимальный радиус не больше половины длины трещины, и области не должны выходить за пределы тела или задевать другие трещины;

• между плоским и максимальным радиусом должно быть хотя бы несколько слоёв элементов.

В текущей версии алгоритма Минимальный радиус на результат не влияет. Параметр оставлен для совместимости.

Плоская деформация

Флаг задаёт постановку задачи. Он должен совпадать с тем, как был выполнен расчёт: плоская деформация (толстое тело) или плоское напряжение (тонкая пластина). От него зависит в связи J и K, поэтому если постановка не совпадёт, K будут неверными.

4. Флаг «Симметричная модель»

Если тело и нагрузка симметричны относительно плоскости трещины, обычно рассчитывают только половину модели. В ней остаётся один берег трещины, а перед вершиной на плоскости симметрии закреплено перемещение по нормали. Фильтр должен знать, что второй половины нет:

Что меняется при включённом флаге:

• Интеграл по половине модели удваивается, чтобы получить значение для целого тела.

• Считается только отрыв: при такой симметрии сдвиговой составляющей быть не может, поэтому K2 и J2 выводятся равными нулю.

Если выставить флаг неправильно:

• Флаг выключен у симметричной половины — J и K1 получатся вдвое меньше истинных, K2 будет «мусорным».

• Флаг включён у полной модели — J и K1 получатся вдвое больше, а сдвиговая мода будет потеряна.

Флаг дополнительно проверяется: в полной модели материал окружает вершину со всех сторон (360°), в симметричной — с одной стороны от плоскости симметрии (180°). В список Вершина трещины попадают концы, которые подходят хотя бы под один из этих случаев. Если флаг не соответствует выбранной вершине, расчёт остановится с ошибкой «The calculation can't be performed with the current value of Symmetrical Model flag».

5. Результаты

Выход — копия входной модели. Результаты — это по одному числу на массив, и они записаны в поле данных (Field Data). Чтобы их увидеть, откройте представление Таблица и в списке атрибутов выберите Поле данных.

У массивов J1, J2, K1, K2, T по одной компоненте на каждый контур (компоненты 1…N). Средние по всем контурам лежат в массивах:

J1 — это J-интеграл в обычном смысле (в направлении роста трещины, формула выше). J2 — вторая компонента вектора J, для оценки прочности обычно не нужна.

Единицы измерения согласованы с единицами модели: J — [сила/длина], K — [напряжение·√длина], T — [напряжение]. Например, для модели в Па и м: J — Н/м, K — Па·√м.

Как проверить качество результата

J-интеграл по теории не зависит от контура, поэтому значения по контурам должны быть близки.

• Разброс в несколько процентов — нормально. Для отчёта берите среднее (avgJ, avgK).

• Если один-два ближайших к вершине контура заметно отличаются, сетка у вершины слишком грубая: сгустите её или увеличьте Плоский радиус.

• Если «уплывают» дальние контуры, область интегрирования, скорее всего, задевает границу тела или зону приложения нагрузки. Уменьшите Максимальный радиус.

• Проверьте согласованность J и K: .

6. Сообщения об ошибках

7. Ограничения

• Материал — линейно-упругий изотропный.

• Одна вершина трещины за один расчёт фильтра.

• Давление на берегах трещины в 2D не учитывается.