Моделирование движения механической системы, состоящей из деформируемых упругих тел, путем интеграции двух пакетов: Euler И Fidesys

Источник - Бойков В.Г., Гаганов И.В., Файзуллин Ф.Р., Юдаков А.А. Моделирование движения механической системы, состоящей из деформируемых упругих тел, путем интеграции двух пакетов: Euler и Fidesys// Чебышевский сборник, 2001. - Т. 18, вып. 3. - С. 131-153.

Описание задачи

Рассматривается реализация интерфейса для расчетов с использованием конечно-элементных моделей в виде упругих звеньев в ПК EULER. Это позволяет учесть влияние упругих деформаций звеньев механизма на динамику движения, а также быстро и удобно рассматривать эффекты изменения параметров движения и структуры механизма на напряженнодеформированное состояние в детали.

Теоретические основы расчета

Деление узлов на интерфейсные (узлы воздействия силовых элементов и шарниров и узлы, приближенное представление движения которых нежелательно) и внутренние;
Расчет статических форм от единичных смещений по всем степеням свободы интерфейсных узлов;
Расчет собственных форм колебаний при зажатых интерфейсных узлах;
Построение модальной матрицы H_F, редуцированных матриц масс и жесткости: , где M_FEM, C_FEM - полные матрицы масс и жесткости МКЭ-модели тела; при этом малые упругие перемещения тела аппроксимируются набором допустимых форм: x_n=H_Fω , где x_n – координаты всех узлов МКЭ-модели в собственной системе координат тела, ω– набор модальных координат размера H, где H – полное количество используемых форм;
Ортонормализация базиса модального пространства на основе решения обобщенной проблемы собственных значений для редуцированных матриц: ; получение модальной матрицы H_R, ортонормальной относительно полных матриц модели: , тогда: - единичная, – диагональная. При этом x_n=H_Rω .

Упомянутая собственная система координат тела, в которой упругие перемещения аппроксимируются набором допустимых форм – это так называемая присоединенная система координат (ПСК) тела. Это система координат, связанная с телом. Если тело не совершает упругих колебаний (условно говоря, заморожено), то всё движение тела определяется движением ПСК. Именно относительно ПСК рассматривается понятие малости упругих перемещений x_n в методе Крейга-Бэмптона. Для краткости базовую инерциальную систему координат будем называть СК0.

Везде далее под модальной матрицей H, подразумевается произвольная матрица допустимых форм, при этом вектор модальных координат ω выбирается таким образом, что

x_n=Hω (1)

Тем самым достигается общая независимость от используемого метода редукции. В частности, это может быть матрица H_F или H_R из модели Крейга-Бэмптона. Нужно отметить, что для обеспечения корректности дальнейших выкладок линейная зависимость между допустимыми и твердотельными формами тела должна быть исключена каким-либо способом. Этого можно достичь, если при ортонормализации модального подпространства в методе Крейга-Бэмптона не включать формы колебаний с нулевой частотой в модальную матрицу H_R. Уравнения динамики упругих тел выводятся из уравнения Лагранжа второго рода:

где T – кинетическая энергия, U – потенциальная, q– вектор обобщенных координат тела, s – вектор обобщенных сил. В качестве q выберем совокупность двух векторов: шестимерного вектора (r,φ), характеризующего положение ПСК относительно СК0 и вектора модальных координат ω. Для любых векторов a, b, ... обозначим через (a, b,...) их объединение в общий вектор. Для удобства записи формул и их анализа примем в качестве r и φ такие вектора, что

где – линейная и угловая скорости ПСК относительно СК0. Пусть– линейное и угловое ускорения ПСК относительно СК0, .

Пусть N – число всех узлов МКЭ-модели тела, тогда число степеней свободы модели равно 6N, размер модальной матрицы H равен 6N × H, где H – количество используемых форм. Индекс r соответствует поступательным перемещениям, φ – вращательным, – упругим; индексы k и l – индексы узлов, – индексы форм, . Обозначим через x_n,k шестимерный вектор положения k-ого узла в ПСК, H_k – часть модальной матрицы, относящуюся к этому узлу:

Пусть h_k,i – i-ый столбец матрицы . Обозначим через p_k вектор начального положения центра k-ого узла относительно ПСК. Тогда с учетом (1) положение центра k-ого узла относительно СК0 в любой момент времени можно записать в виде:

Суть вывода уравнений упругих конструкций заключается в записи формул для расчета всех членов уравнения Лагранжа (2). Из теории классического метода конечных элементов известно уравнение для расчета кинетической энергии МКЭ-модели тела:

где – скорости всех узлов МКЭ-модели тела, M_FEM – полная матрица масс. В классическом МКЭ предполагается, что тело не подвержено большому движению как целое, поэтому и скорости, и матрица масс записываются относительно базовой инерциальной СК. Основная идея применения этой формулы в рассматриваемой в настоящей статье постановке заключается в следующем: полная матрица масс постоянна в собственной СК тела, то есть в ПСК. Это утверждение очевидно из определения присоединенной системы координат, поскольку движение ПСК определяет движение тела как целого, и относительно ПСК рассматриваются все упругие перемещения точек тела.

Все физические величины в рамках одной формулы, естественно, должны выражаться в одной системе координат. В формуле (4) вектор скоростей удобно выразить в ПСК, поскольку матрица масс постоянна в ПСК. При этом, конечно же, скорости записываются относительно базовой СК0. Вектор ,где – линейная и угловая скорости k-ого узла относительно СК0. С учетом формулы (2) можно показать, что:

Знак “~” над трехмерным вектором обозначает операцию взятия кососимметрической матрицы для этого вектора; знак “~” над открывающей скобкой применяется к результату выражения в скобках.

Если ввести матрицы

то вектор скоростей можно выразить в виде:

Пусть полная матрица масс имеет произвольный вид:

где m_rr,kl, m_rφ,kl, m_φr,kl, m_φφ,kl– блоки размера 3×3. Подставив формулы (5) и (6) в формулу (3), выражение для расчета кинетической энергии можно записать в виде:

Здесь M – обобщенная матрица масс. Чтобы выписать формулы для расчета всех ее компонент, нужно ввести 18 матриц, представленных в таблице 1. Каждая сумма здесь – это сумма по индексам k,l, от 1 до N, то есть двойная сумма по всем узлам тела. Все эти матрицы постоянны в ПСК.

Формулы для расчета блоков матрицы масс можно записать в виде:

Видно, что J_rr, J_rω, J_ωω– постоянны в ПСК, J_rφ, J_φω– линейно зависят от ω, а J_φφ – квадратично. Матрица масс М в ПСК имеет простой вид:

Очевидно, что M симметрична. Из сопоставления формул (3) и (7) для расчета кинетической энергии легко получить, что если M_FEMположительно определена, то и M также положительно определена.

Итак, получены окончательные формулы для расчета обобщенной матрицы масс. Подставив формулы (7) и (9) в уравнение Лагранжа (2), можно показать, что:

где k– вектор обобщенных сил инерции, который в ПСК можно записать в виде:

Если ввести вектора k_ω,rφ, k_ω,φφ, k_ω,φω, компоненты которых равны:

то формулы для расчета компонент вектора обобщенных сил инерции запишутся в виде:

Рассмотрим далее остальные члены уравнения Лагранжа (2). Полная потенциальная энергия тела равна: U=U_C+U_g, где U_C– потенциальная энергия упругих деформаций, U_g – потенциальная энергия гравитации. Используя формулу для расчета энергии упругих деформаций МКЭ-модели тела:

и учитывая, что полная матрица жесткости постоянна в ПСК (по аналогии с матрицей масс), можно показать, что: , где – обобщенная матрица жесткости, – редуцированная матрица жесткости. Значит обобщенная сила упругости равна:

Если обозначить через g_r вектор ускорения свободного падения, можно показать, что: , где g=(g_r;0;0). Поэтому обобщенная сила гравитации равна:

Математическая модель демпфирования строится известными методами на основе диссипативной функции Рэлея: , где D– обобщенная матрица демпфирования: . Редуцированная матрица демпфирования получается либо методом Рэлея: , где α и β – некоторые константы, либо на основе представления свободных колебаний тела набором независимых уравнений движения с одной степенью свободы, тогда: , где – критический коэффициент затухания соответствующей формы, ω_k– ее собственная частота колебаний. Обобщенная сила демпфирования при этом равна:

Пусть к k-ому интерфейсному узлу приложены сила f_k и момент m_k в точке, отстоящей от этого узла на вектор ρ_f,k, тогда – приложенная сила, приведенная к центру узла. Из условия равенства виртуальных работ на возможных перемещениях по обобщенным координатам получим (суммирование ведется по всем узлам тела, к которым приложены силы):

Двусторонние связи, накладываемые на упругое тело, моделируются аналогично связям на твердые тела. Подробно принципы построения уравнений связи рассмотрены в статье [2]; здесь приведем их коротко. Общий вид уравнения связи:

где – ускорения, скорости и положения i-ой локальной системы координат (ЛСК) связи относительно СК0. Продифференцировав, можно получить уравнение для расчета ускорений в связи (суммирование ведется по всем ЛСК данной связи):

где – матрица производных невязок связи по движениям i-ой ЛСК связи, h_c– вектор невязки ускорения связи, определяемый в зависимости от типа связи. Выразив параметры ЛСК, которая связана с твердым или упругим телом, через параметры этого тела, получаем:

где – матрица производных невязок i-ой ЛСК связи по обобщенным координатам соответствующего тела (обобщенный якобиан связи). Если i-ая ЛСК связи относится к k-ому интерфейсному узлу тела и отстоит от него на вектор ρ_c, то опуская индекс i, можно записать:

Обобщенные силы реакции связей можно выразить формулой (см. [2]):

где λ– силовые факторы в связях.

Таким образом, рассмотрены все члены уравнения Лагранжа (2). Сводя их воедино, получаем уравнение для расчета движения деформируемого тела в общей постановке:

где M, C, D – обобщенные матрицы масс, жесткости и демпфирования, k– вектор сил инерции, s_g – обобщенная сила гравитации, s_a – обобщенные активные силы, R– силы реакций связей. Уравнение (11) можно записать в виде:

где – сумма обобщенных сил упругости, демпфирования, гравитации и активных сосредоточенных сил. Оно имеет вид такой же, как и обобщенное уравнение движения твердого тела. Тем самым оказывается возможным моделировать динамику упругой конструкции в составе многокомпонентной механической системы.