Упругое состояние трубы. Формулы Ламе

Задача об упругом состоянии толстостенной трубы - это одна из первых задач теории упругости, которая была решена еще Ламе (1828 г.). Напишем уравнения закона Гука:

Из последнего уравнения

Исключим σ_z из первого уравнения:

Аналогично

Уравнение равновесия будет удовлетворено тождественно, если принять

Функция F(r) называется функцией напряжений. По формулам (2) (2')

Таким образом, деформации также выражены через функцию напряжений F(r) и неизвестную пока константу ε_z. Внесем выражение ε_r и ε_φ по формулам (3) в уравнение совместности деформаций. Получим после сокращений

Для интегрирования этого дифференциального уравнения положим F = Crⁿ и подставим это выражение для F в (4). После сокращения r^n-2 придем к следующему алгебраическому уравнению для показателя n:

Корни этого уравнения n = ±1, поэтому общий интеграл уравнения (4) может быть написан в виде

где A и B - постоянные интегрирования.

Напряжения σ_r и σ_φ выразятся следующим образом:

Это и есть формулы Ламе для напряжений и толстостенной трубе. Постоянные интегрирования должны быть определены из граничных условий. Пусть внутренний радиус трубы есть a, наружный радиус b. Внутреннее давление равно q, наружное равно нулю. Это значит, что радиальное напряжение σ_r равно - q при r = a и равно нулю при r = b. По первой из формул (5)

Отсюда находим постоянные A и B:

Окончательные формулы для напряжений получаются следующими:

На рисунке 1 показаны графики (эпюры) распределения напряжений по толщине стенки.

Рисунок 1. Распределение напряжений по толщине стенки

Напряжение σ_z определится теперь по формуле

Оказывается , что σ_z постоянно по толщине стенки. Равнодействующую внутренних сил в поперечном сечении мы обозначим через P, это сила, растягивающая или сжимающая трубу. Если труба закрыта по концам, растягивающая сила равна давлению на дно, площадь которого есть πa². Следовательно, P = qπa². Площадь поперечного сечения трубы равна π(b²-a²). Таким образом,

Сравнивая (7) и (8), можем найти относительное удлинение ε_z. Если материал трубы несжимаем, ν = 1/2 и ε_z = 0.

В открытой по концам (например, ствол орудия во время выстрела) σ_z = 0, поэтому