Решение нелинейных задач методом Ньютона-Рафсона

Рассмотрим процесс решения уравнений для нелинейных процессов на примере статической постановки.

После стандартной конечно-элементной дискретизации уравнения равновесия задача сводится к следующей: найти вектор узловых перемещений в момент времени , удовлетворяющих уравнению:

(1)

где , - вектора внутренних и внешних сил в узлах соответственно.

Данное уравнение является нелинейным. В CAE Fidesys оно решается итерационным методом Ньютона-Рафсона. Каждая итерация данного метода представляет решение линеаризованной задачи (1).

Пусть известно приближение . Тогда итерация (k) метода Ньютона-Рафсона сводится к линейной системе уравнений:

(2)

где - абсолютные приращения сил и приращений соответственно (в CAE Fidesys абсолютные невязки обозначены как ABS. FORCE RESIDUAL, ABS. VARIABLE RESIDUAL).

Решив систему (2), обновляем узловые перемещения в виде:

Процесс решения методом Ньютона-Рафсона иллюстрируется с помощью рисунка

Рис. 1. Иллюстрация схемы итерационного метода Ньютона-Рафсона

Критерии остановки итерационного процесса зависит от характеристик модели. Рассмотрим их подробнее.

Введем понятие относительных невязок сил и приращений соответственно: .

Их эквиваленты в CAE Fidesys обозначаются как REL. FORCE RESIDUAL и REL. VARIABLE RESIDUAL.

Тогда обоснование вывода о решении (2) и остановки итерационного процесса следует из стандартных предложений:

относительные невязки по двум значениям (REL. FORCE RESIDUAL и REL. VARIABLE RESIDUAL) или невязка ABS. VARIABLE RESIDUAL (для случая, когда абсолютные приращения перемещений модели близки к точности математических вычислений) стала (стали) меньше порога.

Данный критерий используется для расчетов с моделями пластичности в малых деформациях, пластичности с контактом в малых деформациях

то же, что первый пункт или ниже порога уменьшилась невязка ABS. FORCE RESIDUAL (для случая, когда абсолютные приращения сил модели близки к точности математических вычислений).

Данный критерий используется для случаев, не представленных в 1). Фактически, речь идет о расчетах с конечными деформациями, идущими возможно в связке с другими нелинейностями.

Замечания:

1) порог по абсолютным значениям ABS. FORCE RESIDUAL, ABS. VARIABLE RESIDUAL пользователь напрямую не задает. Он считается как 1e-8, умноженное на заданную пользователем относительную точность;

2) используемые понятия порога абсолютных и относительных невязок фактически устанавливаются пользователем через параметр относительной точности. Данная точность соблюдается CAE Fidesys в случае, когда не происходит дробления подшага при нахождении . Дробление подшага на несколько дополнительных используется, если метод Ньютона-Рафсона не сходится на исходном подшаге. В этом случае порог корректируется автоматически в соответствии со степенью дробления.