Касательные напряжения при изгибе балки с квадратным сечением

Рассматривается задача об изгибе консольной балки квадратного сечения (сторона 0.1 м). Материал балки - сталь. Один конец балки закреплен, на другой действует сила F_y=1000 Н.

В упрощенном случае максимальное касательное напряжение σ_{xz_max} возникает на горизонтальной оси симметрии сечения, постоянно вдоль ребра, и равно результату элементарной теории

В этом случае при выводе формул коэффициент Пуассона полагается равным нулю. Строго говоря, это не так, и учет коэффициента Пуассона вносит существенные поправки в решение.

В Теории упругости (Тимошенко С. П., Гудьер Дж) [1] рассматривается решение задачи с коэффициентом Пуассона 0.25

В этом случае максимальное касательное напряжение σ_{xz_max} возникает на горизонтальной оси симметрии сечения и изменяется вдоль ребра в соответствии с параболическим законом. Максимальное значение равно произведению результата элементарной теории 3P/(2A) на коэффициент, зависящий от соотношения сторон прямоугольного сечения (b/a). В данном случае, это соотношение равно 1.

Итоговое значение напряжений:

Касательные напряжения σ_{yz_max} определяются аналогично напряжениям σxz_max - произведением результата элементарной теории на коэффициент, полученный из таблицы 9 (стр 370)[1] для случая (b/a)=1.

Для получения этого значения проведено полиномиальное аппроксимирование значений из таблицы.

Таким образом получено значение k=0.091, соответствующее соотношению (b/a)=1. Итоговое значение напряжение σ_{yz_max}

Приведем ниже результаты вычислений CAE Fidesys при помощи балочных элементов второго порядка beam3.

Решение для нулевого коэффициента Пуассона

Решение для коэффициента Пуассона 0.25

В последнем случае разница в решении составляет 1.6%, что является допустимой погрешностью.

Таким образом, балочная теория, реализованная в CAE Fidesys, учитывает влияние коэффициента Пуассона, что позволяет получать более точные решения для касательных напряжений.

Список литературы:

[1] Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ./Под ред. Г. С. Шапиро.— 2-е изд.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979, 560 с. (364-370)