CAE Fidesys 4.0 Руководство пользователя

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩЕЙ
ИЗ ДЕФОРМИРУЕМЫХ УПРУГИХ ТЕЛ, ПУТЁМ ИНТЕГРАЦИИ
ДВУХ ПАКЕТОВ: EULER И FIDESYS

Источник - Бойков В.Г., Гаганов И.В., Файзуллин Ф.Р., Юдаков А.А. Моделирование движения механической системы, состоящей из деформируемых
упругих тел, путем интеграции двух пакетов: Euler и Fidesys// Чебышевский сборник, 2001. - Т. 18, вып. 3. - С. 131-153.

Описание задачи

Рассматривается реализация интерфейса для расчетов с использованием конечно-элементных моделей в виде упругих звеньев в ПК EULER.
Это позволяет учесть влияние упругих деформаций звеньев механизма на динамику движения, а также быстро и удобно рассматривать эффекты
изменения параметров движения и структуры механизма на напряженнодеформированное состояние в детали.

Теоретические основы расчета

• Деление узлов на интерфейсные (узлы воздействия силовых элементов и шарниров и узлы, приближенное представление движения которых нежелательно) и внутренние;

• Расчет статических форм от единичных смещений по всем степеням свободы интерфейсных узлов;

• Расчет собственных форм колебаний при зажатых интерфейсных узлах;

• Построение модальной матрицы H_F, редуцированных матриц масс и жесткости:

  ,

  где M_FEM, C_FEM - полные матрицы масс и жесткости МКЭ-модели тела; при этом малые упругие
  перемещения тела аппроксимируются набором допустимых форм:

  ,

  где x_n – координаты всех
  узлов МКЭ-модели в собственной системе координат тела, ω – набор модальных координат размера H, где H – полное
  количество используемых форм;

• ортонормализация базиса модального пространства на основе решения
  обобщенной проблемы собственных значений для редуцированных матриц:

  ;

  получение модальной матрицы H_R, ортонормальной относительно полных матриц модели:
  

  .

  Тогда:

  - единичная,

  – диагональная.

  При этом

  .

Упомянутая собственная система координат тела, в которой упругие перемещения аппроксимируются набором допустимых форм,
– это так называемая присоединенная система координат (ПСК) тела. Это система координат, связанная с телом.
Если тело не совершает упругих колебаний (условно говоря, заморожено), то всё движение тела определяется движением ПСК.
Именно относительно ПСК рассматривается понятие малости упругих перемещений в методе Крейга-Бэмптона.
Для краткости базовую инерциальную систему координат будем называть СК0. Везде далее под модальной матрицей H, вообще говоря, подразумевается
произвольная матрица допустимых форм, при этом вектор модальных координат ω выбирается таким образом, что

Тем самым достигается общая независимость от используемого метода
редукции. В частности, это может быть матрица H_F или H_R из модели
Крейга-Бэмптона. Нужно отметить, однако, что для обеспечения корректности дальнейших выкладок линейная зависимость между допустимыми и
твердотельными формами тела должна быть исключена каким-либо способом. Этого можно достичь, если, например,
при ортонормализации модального подпространства в методе Крейга-Бэмптона не включать формы колебаний с нулевой
частотой в модальную матрицу H_R.
Уравнения динамики упругих тел выводятся из уравнения Лагранжа второго рода:

где T – кинетическая энергия, U – потенциальная, q– вектор обобщенных
координат тела, s – вектор обобщенных сил. В качестве q выберем совокупность двух векторов: шестимерного вектора

,

характеризующего положение ПСК относительно СК0, и вектора модальных координат ω:
Для любых векторов a, b, ... обозначим через (a, b,...) их объединение в
общий вектор. Для удобства записи формул и их анализа примем в качестве
такие вектора, что:

где

– линейная и угловая скорости ПСК относительно СК0. Пусть

– линейное и угловое ускорения ПСК относительно СК0,

.

Пусть N – число всех узлов МКЭ-модели тела, тогда число степеней свободы модели равно 6N, размер модальной матрицы H равен 6N × H, где
H – количество используемых форм. Индекс r соответствует поступательным перемещениям, φ – вращательным,

– упругим;

индексы k и l – индексы узлов,

– индексы форм, .

Обозначим через x_n,k шестимерный вектор положения k-ого узла в ПСК, H_k – часть
модальной матрицы, относящуюся к этому узлу:

Пусть h_k,i – i-ый столбец матрицы

;.

Обозначим через

вектор начального положения центра k-ого узла относительно ПСК. Тогда с учетом (1) положение центра�k-ого
узла относительно СК0 в любой момент времени можно записать в виде:

Суть вывода уравнений упругих конструкций заключается в записи формул для расчета всех членов уравнения Лагранжа (2).
Из теории классического метода конечных элементов известно уравнение для расчета кинетической энергии МКЭ-модели тела:

где

– скорости всех узлов МКЭ-модели тела, M_FEM – полная матрица масс. В классическом МКЭ предполагается, что тело не подвержено большому движению как целое, поэтому и скорости, и матрица масс записываются
относительно базовой инерциальной СК. Основная идея применения этой формулы в рассматриваемой в настоящей статье постановке заключается в
следующем: полная матрица масс постоянна в собственной СК тела, то есть в ПСК. Это утверждение очевидно из определения присоединенной системы
координат, поскольку движение ПСК определяет движение тела как целого, и относительно ПСК рассматриваются все упругие перемещения точек тела.
Все физические величины в рамках одной формулы, естесвенно, должны   выражаться в одной системе координат. В формуле (3) вектор скоростей
� удобно выразить в ПСК, поскольку матрица масс постоянна в ПСК. При этом, конечно же, скорости записываются относительно базовой СК0.
Вектор равен: M_FEM, где

– линейная и угловая скорости k-ого узла относительно СК0. С учетом формулы (2) можно показать, что:

Знак “~” над трехмерным вектором обозначает операцию взятия кососимметрической матрицы для этого вектора;
знак “~” над открывающей скобкой применяется к результату выражения в скобках.
Если ввести матрицы

,

то вектор скоростей можно выразить в виде:

,

Пусть полная матрица масс имеет произвольный вид:

,

где m_rr,kl, m_rφ,kl, m_φr,kl, m_φφ,kl– блоки размера 3×3. Подставив формулы (5) и (6) в формулу (3), выражение для расчета кинетической энергии можно записать в виде:

,

Здесь M – обобщенная матрица масс. Чтобы выписать формулы для расчета всех ее компонент, нужно ввести 18 матриц,
представленных в таблице 1. Каждая сумма здесь – это сумма по индексам k,l, от 1 до N, то есть
двойная сумма по всем узлам тела. Все эти матрицы постоянны в ПСК.

,

Формулы для расчета блоков матрицы масс можно записать в виде:

,

Видно, что k,l – постоянны в ПСК, J_rr, J_rω, J_ωω– линейно зависят
от ω, а J_rφ, J_φω – квадратично. Матрица масс � в ПСК имеет простой вид:

.

Очевидно, что M симметрична. Из сопоставления формул (3) и (7) для расчета кинетической энергии легко получить, что если M_FEM положительно
определена, то и M также положительно определена.
Итак, получены окончательные формулы для расчета обобщенной матрицы масс.
Подставив формулы (7) и (9) в уравнение Лагранжа (2), можно показать, что:

где k– вектор обобщенных сил инерции, который в ПСК можно записать в виде:

Если ввести вектора k_ω,rφ, k_ω,φφ, k_ω,φω, компоненты которых равны:

то формулы для расчета компонент вектора обобщенных сил инерции запишутся в виде:

Рассмотрим далее остальные члены уравнения Лагранжа (2). Полная потенциальная энергия тела равна:

,

где U_C– потенциальная энергия упругих деформаций, U_g – потенциальная энергия гравитации.
Используя формулу для расчета энергии упругих деформаций МКЭ-модели тела:

и учитывая, что полная матрица жесткости постоянна в ПСК (по аналогии с матрицей масс), можно показать, что:

,

где

– обобщенная матрица жесткости,

– редуцированная матрица жесткости.
Значит обобщенная сила упругости равна:

Если обозначить через g_r – вектор ускорея свободного падения, можно показать, что:

,

где g=(g_r;0;0). Поэтому обобщенная сила гравитации равна:

Математическая модель демпфирования строится известными методами на основе диссипативной функции Рэлея:

,

где D– обобщенная матрица демпфирования:

.

Редуцированная матрица демпфирования
получается либо методом Рэлея:

,

где α и β – некоторые константы, либо на основе представления свободных колебаний тела набором независимых
уравнений движения с одной степенью свободы, тогда:

,

где

– критический коэффициент затухания соответствующей формы,
ω_k– ее собственная частота колебаний. Обобщенная сила демпфирования при этом равна:

Пусть к �k-ому интерфейсному узлу приложены сила f_k и момент m_k в точке, отстоящей от этого узла на вектор ρ_f,k, тогда

– приложенная сила, приведенная к центру узла. Из условия равенства виртуальных работ на возможных перемещениях по обобщенным координатам получим
(суммирование ведется по всем узлам тела, к которым приложены силы):

Двусторонние связи, накладываемые на упругое тело, моделируются аналогично связям на твердые тела.
Подробно принципы построения уравнений связи рассмотрены в статье [2]; здесь приведем их коротко.
Общий вид уравнения связи:

где

– ускорения, скорости и положения i-ой локальной системы координат (ЛСК) связи относительно СК0. Продифференцировав, можно получить уравнение для расчета ускорений в связи
(суммирование ведется по всем ЛСК данной связи):

где

– матрица производных невязок связи по движениям i-ой ЛСК связи, h_c– вектор невязки ускорения связи, определяемый в зависимости от типа связи. Выразив параметры ЛСК, которая связана с твердым
или упругим телом, через параметры этого тела, получаем:

где

– матрица производных невязок i-ой ЛСК связи по обобщенным координатам
соответствующего тела (обобщенный якобиан связи). Если i-ая ЛСК связи относится к k-ому интерфейсному узлу тела и отстоит
от него на вектор ρ_c, то опуская индекс i, можно записать:

Обобщенные силы реакции связей можно выразить формулой (см. [2]):

где λ– силовые факторы в связях. Таким образом, рассмотрены все члены уравнения Лагранжа (2). Сводя их воедино, получаем уравнение для расчета движения деформируемого тела в общей постановке:

где M, C, D – обобщенные матрицы масс, жесткости и демпфирования, k– вектор сил инерции, S_g – обобщенная сила гравитации, S_a – обобщенные активные силы, R– силы реакций связей. Уравнение (11) можно записать в виде:

где

– сумма обобщенных сил упругости, демпфирования, гравитации и активных сосредоточенных сил.
Оно имеет вид такой же, как и обобщенное уравнение движения твердого тела. Тем самым оказывается возможным моделировать
динамику упругой конструкции в составе многокомпонентной механической системы.